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2022北京事业单位职业能力测试:数量关系之巧解同素分配问题——隔板模型

时间:2022-04-26 10:21:58|来源:中公事业单位考试网  姜兆威

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在行测数量关系这类题型中,有一类问题始终令许多同学头疼,那就是排列组合问题。原因之一在于排列组合问题很少能够用“套路”进行解题。而我们今和大家分享的是排列组合问题当中一类相对而言套路性较强的题型,那就是同素分配问题,我们利用隔板模型就能更加容易解决同素分配问题。

下面我们来看一道基本例题:

例1.将12个完全相同的橘子分给3个小朋友,要求每个小朋友至少得到1个橘子,一共有多少种不同的分配方法?

A.4 B.12 C.55 D.220

【中公解析】:C。在这个题目的背景下,12个完全相同的橘子就是“同素”,即相同的元素。首先我们要清楚,题目要我们做一件什么事。在这个题目当中,其实就是要将这12个橘子,按照一定的要求分配下去。那什么叫做分配方法呢?比如说,其中第一个小朋友分得3个,第二个小朋友分得5个,第三个小朋友分得4个,这就是一种分配方法;又比如,第一个小朋友分得4个,第二个小朋友分得5个,第三个小朋友分得3个,这也是一种分配方法。而题目要我们求的,就是这些不同的分配方法一共有多少种。换句话说,也就按照不同的橘子个数进行分配,最终统计方案的个数。

要实现分配过程,这里有12个橘子:

O O O O O O O O O O O O

我们想象如下的画面,在这些橘子中插入一个无形的“隔板”:

O O O O O丨O O O O O O O

其实也就是相当于将这12个橘子分成了两堆。那么我们要分给三个小朋友,其实就是要将这些橘子分成三堆,那么我们要插入几个隔板呢?那应该要插入2个隔板。而不同的插入隔板的方法数,也就对应了不同的橘子的分配方法数。下面我们再来探究3个问题。

第一,这些隔板可以放在橘子上面吗?那显然不行,我们只能将橘子完整地分配下去,也就只能在橘子之间的间隙中插入;第二,这些隔板可以放在首尾两端吗?那也不行,如果放在首尾两端的话,也就没有实现“分堆”这一步,或者说分出了“0”个橘子的堆,那也就不符合题目“每个小朋友至少一个”的要求了;第三,这两个隔板可以放一起吗?也是不可以的,那样相当于只分成了两堆,也不符合题意。

回答完以上问题,我们可以得到,在这12个橘子当中,有几个位置可以供我们放入隔板呢?那就是橘子和橘子中间的位置,一共有11个。在这11个位置当中放入2个隔板,有几种方法呢?11个位置,选出2个放入隔板,2个隔板交换位置,对结果没有影响,因此是组合数,也就是C(2,11)=55种。

现在又有问题出现了,在将橘子分成3堆之后,需不需要再将这3堆进行分配呢?也就是再乘上一个A(3,3)呢?答案是不需要的。我们来看下面两种情况:

O O O丨O O O丨O O O O O O

这种情况,相当于第一个小朋友分得3个,第二个小朋友分得3个,第三个小朋友分得6个;

O O O丨O O O O O O丨O O O

这种情况,相当于第一个小朋友分得3个,第二个小朋友分得6个,第三个小朋友分得3个。

也就是说,同样是将12个橘子分成橘子数分别为3、3、6的三堆,但是不同的小朋友分得不同的橘子数量,已经是考虑在C(2,11)当中了的。因此答案就是C(2,11)=55种。

通过这个例题,我们可以总结出隔板模型:

n个相同元素,分给m个不同对象,每个对象至少分得1个元素,问有多少种不同分配方法。n个元素之间形成n-1个空,只需选出m-1个空,放入隔板即可。也就是C(m-1,n-1)。

下面我们来练习一道题:

例2.将22个完全相同的橘子分给4个小朋友,要求每个小朋友至少得到1个橘子,一共有多少种不同的分配方法?

A.1443 B.1330 C.5985 D.7315

【中公解析】:B。套用隔板模型,即C(3,21)=1330种。

当然我们也要注意,使用隔板模型的三个前提:

1.所分元素要相同;

2.给予的对象要不同;

3.每个对象至少分得1个元素。

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